Управление риском портфеля на основе анализа квантильных мер риска

16.1. Введение.

В предыдущей главе были рассмотрены вопросы, связанные с управлением риском портфеля, при этом в качестве меры рассеяния ожидаемого дохода по конкретному активу и по портфелю, то есть в качестве меры риска, была использована дисперсия (или среднеквадратичное отклонение).

Широкое использование дисперсии в качестве оценки рассеяния ожидаемого дохода портфеля связано с тем, что ее можно вычислить аналитически, если известны дисперсии каждого актива и коэффициенты корреляции между активами. Действительно, дисперсия ожидаемого дохода портфеля - это взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, причем вес каждой ковариации равен произведению весов соответствующей пары активов, а ковариация актива с самим собой является дисперсией данного актива. При этом суммирование проводится безотносительно к разнообразию законов распределений каждого из слагаемых и возможной деформации законов распределения при суммировании.

Ситуация существенным образом усложняется, если в качестве меры рассеяния ожидаемого дохода портфеля необходимо указать квантильное отклонение с заданной доверительной вероятностью, так как это невозможно сделать, если неизвестен закон распределения доходов портфеля. Теоретически, закон распределения доходов портфеля можно найти, если известны законы распределения доходов входящих в него активов. Однако на практике аналитическое решение такой задачи сопряжено со значительными трудностями даже для малого числа активов (за исключением некоторых частных случаев). Это происходит потому, что, во-первых, доходы по входящим в портфель активам могут быть коррелированны между собой, во-вторых, при суммировании доходов активов законы их распределения могут существенным образом деформироваться, поэтому распределение дохода портфеля может сильно отличаться от распределений доходов составляющих его активов.



В этой главе будут рассмотрены практические методы вычисления квантильных мер риска дохода портфеля из произвольного количества активов и управления риском портфеля на основе их анализа.

16.2. Понятие Value-at-risk и Shortfall-at-risk.

Допустим, что предполагается сформировать портфель, состоящий из некоторого набора активов. Введем обозначения: N - количество активов в портфеле,

T - промежуток времени, в течение которого предполагается поддерживать портфель в неизменном состоянии,

{w_n} - набор весов, с которыми активы входят в портфель на момент его формирования,

{x_n } - набор случайных величин, равных доходам по каждому

из активов, которые будут реально получены по истечении промежутка времени T ,

у - случайная величина, равная реально полученному доходу портфеля по истечении промежутка времени T ,

{p_n} - набор ожидаемых значений доходов по каждому из активов,

М_у - ожидаемое значение дохода портфеля.

Реально полученный доход портфеля и ожидаемое значение дохода портфеля за время T можно вычислить по формулам:

N N

У =? ^Wn^Xn Му = ? ^WnMn

n=l n=l

В большинстве случаев оказывается, что величины у и ju_y

не равны друг другу. В частности, по истечении промежутка времени T результатом инвестирования может оказаться убыток, то есть у < 0 .

В качестве квантильной меры риска портфеля используется величина Value-at-risk (VAR), то есть VAR - это мера риска портфеля с заданной доверительной вероятностью.

Утверждение о том, что портфель имеет определенное значение VAR фактически означает следующее: в течение проме

237

жутка времени T с доверительной вероятностью Р абсолютная величина убытка по портфелю не может быть больше, чем VAR (доход по портфелю не может быть меньше -VAR), при этом абсолютная величина убытка, превосходящая VAR, также не исключена, однако такой убыток может случиться лишь с малой вероятностью 1 — P .

Пусть случайная величина у (доход портфеля) имеет плотность распределения р(у) и функцию распределения F (у). Зададим доверительную вероятность P . Обозначим как у_1—P такую квантиль распределения переменной у , что

- вероятность того, что случайная величина у окажется меньше или равной у_1—р, равна 1 — P , т.е.

РтоЪ{у < уі—р } = 1 — P

- вероятность того, что случайная величина у окажется больше у_1—р, равна P, т.е.

РгоЪ{у > уі—р } = P

Доверительную вероятность P как правило выбирают в пределах от 0.95 до 0.99. В этом случае квантиль у_1—р является отрицательным числом. Тогда величина VAR равна модулю этого числа:

VAR =| уі—р |

Для того, чтобы найти VAR случайной величины у, нужно решить уравнение

1 — р = F (—VAR)

или (эквивалентная форма записи)

—VAR

^{1 — р} = j р⁽у)^

—ад

VAR является достаточно распространенной мерой риска портфеля, которая имеет однако ряд существенных недостатков:

1) В отличие от дисперсии, VAR не обладает свойством аддитивности. Это означает, что даже если известны величины VAR составляющих портфель активов и коэффициенты корреляции между активами, то в общем случае на основании

238

этих данных невозможно рассчитать VAR портфеля. Это связано с тем, что VAR является квантильной оценкой, поэтому ее нельзя вычислить без знания закона распределения дохода портфеля. Но при суммировании доходов активов законы их распределения могут деформироваться, поэтому распределение дохода портфеля может сильно отличаться от распределений доходов составляющих его активов.

2) VAR не учитывает возможных больших убытков, которые могут произойти с малыми вероятностями.

3) При указании в качестве меры риска только величины VAR, мы не имеем информации о виде распределения доходов портфеля. При этом, если распределение доходов портфеля является островершинным (эксцесс больше 3), то риск портфеля будет недооцениваться, а если распределение доходов является плосковершинным (эксцесс меньше 3), то риск будет переоцениваться.

Исходя из перечисленных выше недостатков VAR, хотелось бы иметь характеристику риска портфеля, которая описывает реализующиеся с малыми вероятностями аномально большие убытки. Такой мерой риска является Shortfall-at-risk (SAR). SAR -это ожидаемое значение убытка портфеля, при условии, что абсолютная величина убытка превосходит VAR. Исходя из данного определения, значение SAR может быть вычислено по формуле:

-VAR

SAR = J у • p(y)dy

—ад

Совместное использование в качестве мер риска VAR и SAR позволяет иметь более полную информацию о хвостах распределения доходов портфеля. При этом представляется целесообразным рассчитывать эти величины одновременно для нескольких различных значений доверительной вероятности P (например 0.950, 0.975, 0.990, 0.999).

16.3. Вычисление Value-at-risk и Shortfall-at-risk.

Прежде всего рассмотрим, каким образом можно найти значения VAR и SAR для отдельного актива. Для расчета этих величин необходима информация о плотности распределения дохо

239

дов, которая может быть найдена по эмпирической выборке рыночных цен данного актива. Введем обозначения:

0,..., t _max - интервал времени, на котором производится выборка цен,

Price_t - цена актива в момент времени t (0 < t < t_max).

Тогда величиной, характеризующей однодневный доход от вложения в данный актив от момента t — 1 до момента t будет

^Xt = \ⁿ{^PriCet/^PriCet—1) ^{, Г}д^{е 1} < ^t < ^tmax •

Значения VAR и SAR могут быть определены по выборке случайных величин {x_t} следующими способами:

1) Непосредственно по выборке {x_t} .

При использовании этого способа выборка {x_t} должна быть упорядочена по возрастанию. После этого нужно найти номер M в упорядоченной по возрастанию выборке, соответствующий доверительной вероятности P :

M = 1 + ЦЕЛОЕ((1 — P) ¦ (<„„ — 1))

Тогда

1 M

VAR = |x_M| SAR =-^ x_t

^tmax t=1

Данный метод является самым простым и самым грубым. Он исключительно чувствителен к конкретной случайной реализации цен на интервале 0,...,t_max . Кроме того, этот способ сильно зависит от объема выборки. Действительно, при малой величине t_max мы можем для различных значений

P получать один и тот же номер M , и как следствие этого, одни и те же величины VAR и SAR.

2) Путем идентификации закона распределения случайной величины х.

Для этого по выборке {x_t} , используя изложенную в главе 6

методику, необходимо построить эмпирическую гистограмму распределения случайной величины x , после чего аппроксимировать эту гистограмму одним из аналитических

240

законов распределения, которые описаны в главе 2. Тем самым будет найдена формула для плотности распределения р(х) . Для заданной доверительной вероятности P величины VAR и SAR могут быть найдены из уравнений

-VAR -VAR

1 - P = I р( x)dx SAR = I х • р( x)dx

—ад —ад

Решение этих уравнений проводится как правило численно, методика приведена в главе 2.

3) Путем многократного моделирования методом Монте-Карло

Как и в предыдущем случае, по эмпирической выборке {x_t} необходимо найти аналитическую формулу для плотности распределения р(х). Далее, используя генератор псевдослучайных чисел, нужно провести многократное моделирование случайной величины х (методика подробно изложена в главе 2). После этого величины VAR и SAR определяются уже по смоделированной выборке.

ПРИМЕЧАНИЕ. Таким образом мы нашли однодневные VAR и SAR. Если необходимо вычислить например пятидневные значения этих величин, то вместо дневных баров цен используются недельные бары и т. д.

После того как известно, каким образом можно найти значения VAR и SAR для отдельного актива, можно описать процедуру поиска этих величин для портфеля.

Проще всего VAR и SAR для портфеля можно найти, если на интервале времени 0,...,t_max рассмотреть поведение виртуального портфеля, сформированного в момент t = 0 из интересующих нас активов, каждый из которых входит в портфель с заданным весом. Если считать, что Price_t - это стоимость виртуального портфеля в момент времени t, то вся процедура поиска VAR и SAR для него уже описана выше. Такой подход обладает следующими достоинствами:

- отсутствует необходимость учета корреляции между входящими в портфель активами (это происходит автоматически),

241

- отсутствует необходимость учета законов распределения входящих в портфель активов, так как нас интересует только закон распределения результирующего виртуального портфеля, а его можно определить по выборке {Price_t} .

Существенным недостатком такого подхода является то, что текущие веса активов в портфеле равны заданному набору весов {w_n } только в начальный момент времени t = 0. Это происхо

дит потому, что динамика цен входящих в виртуальный портфель активов различна для разных активов, результатом чего является постоянное изменение соотношения текущих весов активов в виртуальном портфеле в различные моменты времени (каждый актив учитывается по его текущей рыночной цене). Действительно, если считать, что в момент t = 0 стоимость

виртуального портфеля Price₀ = 1, то в последующие моменты времени его стоимость выражается формулой:

Price_{n t}

^Pricet = ?

w_n

Price

n=1

n, 0

где Price_{n t} - это цена n -го актива в момент времени t.

Из этой ситуации может быть два выхода. Во-первых, можно пренебречь изменением соотношения весов. Во-вторых, после каждого торгового дня приводить текущие веса активов в соответствие с заданным набором {w_n} . В этом случае стоимость

виртуального портфеля в произвольный момент времени будет равна:

Price₀ = 1

Price

П

Price_n

^Pricet =П Ё

^{t 1,-}"J ^tmax

"'n, t-1 J

Более удобно использовать рекуррентную формулу

^ Price_{n t}

Price_t = Price_t-1 • ? w_n

t-1 n

n=1 ^Price„^ t-1

В некоторых частных случаях VAR портфеля можно найти аналитически, если известен набор {VAR_n} входящих в портфель

242

активов и коэффициенты корреляции между активами. Это следующие случаи:

1) Если доходы всех активов распределены нормально, то их сумма (доход портфеля), также распределен нормально, то есть не происходит деформации закона распределения при суммировании.

2) Если при не обязательно нормальном распределении доходов активов выбран уровень доверительной вероятности P = 0.95 . Дело в том, что для большого числа наиболее употребительных законов распределения 5%-ная квантиль распределения выражается через математическое ожидание и с.к.о. по единой формуле х_{0 05} ~ ^ — 1,6о .

В обоих случаях VAR портфеля вычисляется по формуле, аналогичной формуле для дисперсии портфеля:

N N N

VAR = 2W • VAR; + 2^ Z'WWi.Pk ¦ VAR, ¦ VAR

k=1

k=1 i=k+1

16.4. Оптимизация портфеля с учетом Value-at-risk и Shortfall-at-risk.

Алгоритм численного решения задачи оптимизации портфеля по соотношению математического ожидания дохода и среднеквадратичного отклонения дохода приведен в главе 15 параграфе 15.7 этой книги. Введение в рассмотрение мер риска портфеля VAR и SAR лишь дополняет этот алгоритм. Выбор конкретного решения из множества решений задачи оптимизации портфеля (то есть оптимальное соотношение величин ju_y,

^, VARy и SAR_y), каждый портфельный менеджер осуществляет с учетом своих инвестиционных предпочтений.



Содержание раздела

---