Адаптивное моделирование динамических рядов

12.1. Введение.

Аналитическая аппроксимация динамического ряда какой-либо моделью с помощью МНК имеет ряд особенностей, которые накладывают ограничения на ее применение:

- динамический ряд, к которому применяется аппроксимация, должен быть достаточно длинным,

- применение аналитической аппроксимации эффективно только в случае, если уровни динамического ряда меняются достаточно плавно и медленно, то есть ряд должен быть неволатильным,

- аналитическая аппроксимация не адаптируется к появлению новых данных, то есть при появлении новых данных необходимо пересчитать параметры модели, а иногда возможно пересмотреть саму модель,

- при расчете параметров модели все эмпирические данные входят с одинаковым весом, хотя понятно, что более поздние данные имеют большую ценность.

Однако ряды цен активов как правило подвержены значительным колебаниям, которые аппроксимация не может предвидеть. Поэтому на практике применительно к таким рядам используют методы адаптивного моделирования, которые базируются на экспоненциальном сглаживании динамического ряда (экспоненциальной скользящей средней).

Основным преимуществом методов, основанных на экспоненциальном сглаживании, является учет временной ценности данных и, следовательно, постоянное адаптирование к изменяющимся уровням динамического ряда, что имеет решающее значение при моделировании и прогнозировании волатильных рядов.

12.2. Адаптивное моделирование линейного тренда с помощью экспоненциальных скользящих средних.

Пусть есть основания полагать, что исходный динамический ряд {y_t} можно описать линейной функцией



f (t) = a⁽⁰⁾ + a⁽¹⁾ • t. Наличие случайных отклонений приведет к тому, что связь между рассчитанными по модели значениями f_t и реальными уровнями динамического ряда y_t будет выражаться в виде:

yt = ^ft + ^et = ^{a (0)} + ^{a (1)} •^t+^et

где e_t - это расхождения между моделью и реальными уровнями. Используя экспоненциальные скользящие средние вычислим неизвестные параметры (aa⁽¹⁾) .

Обозначения

Введем следующие обозначения:

- Y_t ⁽¹⁾ - ЕМА 1-го порядка исходного динамического ряда,

- Y_t ⁽²⁾ - ЕМА 2-го порядка исходного динамического ряда,

- Е^((Г) - ЕМА 1-го порядка ошибок модели,

- Е^((Т> - ЕМА 2-го порядка ошибок модели,

- а - показательный процент ЕМА.

Вычисление Y_t⁽¹⁾

t-і

^Yt⁽¹⁾ = °Z ^{(1 - a)}Yt-i + ^{(1 - а)}Уо =

i=0

= cO^ (1 -а) (a⁽⁰⁾ + a ⁽¹⁾(t - i) + e_t-i)+ (1 -а) (a⁽⁰⁾ + e₀)

i=0

t-1

t-1

= a(a⁽⁰⁾ + a^(l)t)Z(1 -а)^г -aa⁽¹⁾Z(1 -a)'i + (1 -а)a⁽⁰⁾ +

i=0

i=0

Z^{(1 -a)e}t-i +^{(1 -a)t} i=0

Суммы в последней формуле вычисляются как

1 - (1 -а)

t-1

Z (1 -а)¹ = i=0

166

Выражение в квадратных скобках равно E^(V>.

С учетом всего вышесказанного формула для Y_t⁽¹⁾ примет вид:

Y_t⁽¹⁾ = a⁽⁰⁾ + a⁽¹⁾t - a+ E⁽t¹⁾ или

(1) ^{(1 a)} + E^m

Yt⁽¹⁾ = f_t - a

Очевидно, что между ЕМА 1-го порядка Y _t⁽¹⁾ и моделью f _t существует постоянный сдвиг, равный -a⁽⁾ • (1 -a)/a. Величина этого сдвига пока неизвестна, так как она выражается через неизвестный параметр a⁽¹⁾.

(1 - a) - (1 + at - a)(1 - a)

Z^{(1 -a)i} =

i=0 ^a

При достаточно большом t, так как (1 - a) < 1, то (1 - a) ^t ~ 0 и можно написать приближенные выражения:

1

Z (1 -a)'

i=0

t-1

Z (1 -a)4 * _a

i=0 a

(2)

Вычисление Y_t

Y;^r> =aZ (1 -afY- + (1 -a)^tY„^(,) =

i =0

t-1

,(1) ^{(1 a)} + _E(1)

= aZ (1 - a)' I a⁽⁰⁾ + a⁽¹⁾ (t - i) - a

+ E- 1 +

i=0

+ (1 -a)^t I a^(U) - a

11 _a(0) _{- a}(1) ^{(1 a)} + e(1)

Дальнейшие выкладки полностью аналогичны тем, которые были сделаны при вычислении Y_t⁽¹⁾. Приведем сразу конечный результат:

167

Y_t ⁽²⁾ = а⁽⁰⁾ + а ⁽¹⁾t - 2а⁽¹⁾ 0-^ + Е^(Т>

a

или

Y_t⁽²⁾ = f_t - 2а⁽¹⁾-^(1-а)- + Е⁽²⁾ a

Вычисление параметров линейного тренда

Имеем систему уравнений с двумя неизвестными (а^І'⁰'¹, а⁽¹⁾) :

Y_t⁽¹⁾ = а⁽⁰⁾ + а⁽¹⁾t - а⁽¹⁾-^(1-а + Е⁽¹⁾

< ^а

Y_t ⁽²⁾ = а⁽⁰⁾ + а ⁽¹⁾t - 2а⁽¹⁾ 0^- + E<_t²⁾

а

Решая эту систему находим неизвестные параметры (а^І'⁰'¹, а⁽¹⁾)

а‘° = Y™ + [<¦> - Y[)- (> - Е²) ] -]1 - Е,^,П

а¹¹¹ = -^'[(Y'> -[»)-('> -Е!²⁾)]

При переносе начала отсчета в точку t получим

аГ> = (2Yt<" - Y,™)-(2Е™ - Е²>)

а? = а [' - [>)- (' - Е‘г>)]

1 -а

В разные моменты времени t значения коэффициентов будут различны. Поэтому в формулах они отмечены соответствующими моменту времени индексами.

Прогноз уровней динамического ряда

Прогнозное значение динамического ряда в момент времени t + т равно f_t+T = а⁽⁽⁰⁾ + а⁽¹⁾ • т .

Замечание

В формулах для вычисления параметров линейной регрессии (а⁽⁰⁾, а⁽¹>) присутствуют величины Е^(?> и Е^², которые являют

168

ся ЕМА от ошибок уравнения регрессии e_t = y_t — f_t, то есть при

вычислении (a⁽f'^>, а⁽¹⁾) возникает перекрестная ссылка. Поэтому

на первом этапе нужно использовать упрощенные формулы, не учитывающие скользящих средних ошибок.

Алгоритм вычисления параметров линейного тренда

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Рассчитать ЕМА 1-го и 2-го порядка исходного ряда:

У?¹ и У?²

Вычислить в первом приближении параметры линейного тренда:

(2)

а™ = 2Г“' — Y,

а⁽¹⁾ =

•(Yt'" — If¹)

Для каждого момента времени t найти прогнозное значение на Т шагов вперед (т > 1) согласно уравнению регрессии:

ft+т= а⁽⁰⁾ + а⁽¹⁾ •т

Рассчитать ошибки прогноза:

^et = yt^— ft

Вычислить ЕМА 1-го и 2-го порядка ошибок прогноза:

Ef и E⁽⁽²⁾

Определить окончательные значения параметров линейного тренда:

а™ =(2?‘," - Г, <^!) )-(2E(<¹¹ - E<r')

а™ = — К — К)— (ё™ — Ef>)]

1 — а

ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом случае при расчете параметров линейного тренда нужно остановиться на шаге 2 этого алгоритма.

12.3. Адаптивное моделирование параболического тренда с помощью экспоненциальных скользящих средних.

Пусть исходный динамический ряд {y_t} можно описать параболой f (t) = а⁽⁰⁾ + а⁽¹⁾t + а⁽'^T>t². Наличие случайных отклонений

169

приведет к тому, что связь между рассчитанными по модели значениями f_t и реальными уровнями динамического ряда yt будет выражаться в виде: y_t = f_t + e_t = a⁽⁰⁾ + a⁽¹⁾ t + a⁽²⁾ t² + e_t

где e_t - это расхождения между моделью и реальными уровнями. Используя экспоненциальные скользящие средние вычислим неизвестные параметры (a⁽⁰⁾, a⁽¹⁾, a⁽²⁾).

Обозначения

Введем обозначения:

- Y_t ⁽¹⁾ - ЕМА 1-го порядка исходного динамического ряда,

- Y_t ⁽²⁾ - ЕМА 2-го порядка исходного динамического ряда,

- Y_t ⁽³⁾ - ЕМА 3-го порядка исходного динамического ряда,

- Е^((Г> - ЕМА 1-го порядка ошибок модели,

- Е^((Т> - ЕМА 2-го порядка ошибок модели,

- E_t⁽³⁾ - ЕМА 3-го порядка ошибок модели,

- a - показательный процент ЕМА.

Вычисление Y_t⁽¹⁾, Y_t⁽²⁾ и Y_t⁽³⁾

t-і

^Yt^(l)=^aX^{(1 - a)}yt-i +^{(1 - a)}4 =

i=0

= ay(1 -a) (a⁽⁰⁾ + a⁽¹⁾(t -i) + a⁽²⁾(t -i)² + e_t-i)-

1=0

+ (1 -a)V + e₀)

‘i +

Y_t^m = a(a⁽⁰⁾ + a⁽¹⁾t + a⁽²⁾t²)У (1 -а)¹ -a(a⁽¹⁾ + 2a⁽²⁾t)У(1 - a)

1=0

1=0

У (1 -a)ⁱe_t -i + (1 -a)‘

(2)

^ta⁽⁰⁾ +

У (1 -a)¹i² + (1 -a)

+ aa

г=0

г=0

При достаточно большом t, так как (1 - a) < 1, то ^{(1 -a)t} * °. Следовательно:

170

t-1

? (1 -a)' *-

'=0 t-1

? (i-a)4 » <0> a

(1 - a)(2 - a)

i =0 t-1

''²

?^{(1 -a)}''

'=0

Выражение в квадратных скобках равно E⁽t^r>.

С учетом всего вышесказанного формула для Y^ примет вид:

Y_t « = b⁽⁰⁾ + b⁽¹⁾ t + a⁽²⁾ t² + Ef¹

где

b⁽⁰⁾ = a⁽⁰⁾ - a⁽¹⁾ — + a^{(2) (1 -a)(2 -a)} a a²

b⁽¹⁾ = a⁽¹⁾ - 2a⁽²⁾ —

a

Расчет Y_t ⁽²⁾ и Y_t ⁽³⁾ проводятся по той же схеме. Приведем сразу конечный результат.

Y_t ⁽²⁾ = с⁽⁰⁾ + с ⁽¹⁾t + a⁽²⁾ t² + E⁽²⁾

где

_с (0) = b(0) _- b (1) ^{1 -a} + _a (2) ^{(1 - a)(2 - a)}

a a²

с⁽¹⁾ = b⁽¹⁾ - 2a⁽²⁾ —

a

Y_t ⁽³⁾ = d⁽⁰⁾ + d ⁽¹⁾t + a⁽²⁾ t² + E_t⁽³⁾

где

d (0) = _с (0) _{- с} (1) ^{1 -a} + _a (2) ^{(1 - a)(2 - a)}

a a²

d⁽¹⁾ = с⁽¹⁾ - 2a⁽²⁾ —

a

171

Вычисление параметров параболического тренда

Используя эти результаты найдем неизвестные параметры параболического тренда (a⁽⁰⁾, a⁽¹⁾, а⁽²⁾). Перенеся начало системы отсчета в точку t после довольно громоздких преобразований можно получить:

(3Yt⁽¹⁾ -3Y/²⁾ + Yt⁽³⁾)-(3?t⁽¹⁾ -3E⁽⁽²⁾ + Ef)

(Y_t⁽¹⁾ (6 - 5a) - Y_t ⁽²⁾ (10 - 8a) + Y_t⁽³⁾ (4 - 3a))

а⁽р =

2(1 -a)²

2(1 -a)²

(E_t⁽¹⁾ (6 - 5a) - E(²⁾ (10 - 8a) + E_t⁽³⁾ (4 - 3a))

-E™ - 2Y™ + Yt®)

a(²⁾ =

2(1 -a)

-((> - 2e;²> + e;⁵>)

2(1 -a)²

Прогноз уровней динамического ряда

Прогнозное значение динамического ряда в момент времени t + т равно f_t+_т = а⁽⁽⁰⁾ + a_t⁽¹⁾ • т + a_t⁽²⁾ - г².

Замечание

В формулах для вычисления параметров параболической регрессии (a_t⁽⁰⁾,a_t⁽¹⁾,a_t⁽²⁾) присутствуют величины E_t⁽¹⁾,E^((T> и

E_t⁽³⁾, которые являются ЕМА от ошибок уравнения регрессии e_t = y_t - f_t, то есть при вычислении (a_t⁽⁰⁾, a_t⁽¹⁾, a_t⁽²⁾) возникает

перекрестная ссылка. Поэтому на первом этапе нужно использовать упрощенные формулы, не учитывающие скользящих средних ошибок.

Алгоритм вычисления параметров параболического тренда

1) Рассчитать ЕМА 1-го, 2-го и 3-го порядков исходного ряда:

Y_t ⁽¹⁾, Y_t ⁽²⁾ и Y_t ⁽³⁾

172

2) Вычислить в первом приближении параметры параболического тренда:

a_t⁽⁰⁾ = _Зу₍п⁾ - _Зу₍⁽²⁾ + Y_t(³⁾

- (y⁽¹⁾ (6 - 5a) - Y⁽²⁾ (10 - 8a) + Y/³⁾ (4 - 3a))

af =

2(1 -a)

(y, ^,,) - 2Y^<2) + Y^(3>)

a(²⁾ =¦

2(1 -a)²

3) Для каждого момента времени t найти прогнозное значение на Т шагов вперед (т > 1) согласно уравнению регрессии:

f++т= at⁽⁰⁾ + at⁽¹⁾ • т + a(²⁾ Т

4) Рассчитать ошибки прогноза:

^et = y_t ^{- f}t

5) Вычислить ЕМА 1-го, 2-го и 3-го порядков ошибок прогноза:

(3)

E , ^Et и E_t

6) Определить окончательные значения параметров параболического тренда:

t⁽⁰⁾ = (3Yt⁽¹⁾ -3Y/²⁾ + Yt⁽³⁾)-(3Et⁽¹⁾ -3Et⁽²⁾ + Ef )

(⁽¹⁾ (6 - 5a) - Y_t ⁽²⁾ (10 - 8a) + Y_t⁽³⁾ (4 - 3a))

at⁽¹⁾ =

2(1 -a)²

2(1 -a)²

(E⁽⁽¹⁾ (6 - 5a) - E(²⁾ (10 - 8a) + E_t⁽³⁾ (4 - 3a))

(,⁽¹⁾ - 2Ef + Ef)

-(_t⁽¹⁾ -2Yt⁽²⁾ + Y_t⁽³⁾)

af =

2(1 -a)²' ‘ ‘ * ’ 2(1 -a)²

ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом случае при расчете параметров параболического тренда нужно остановиться на шаге 2 этого алгоритма.

12.4. Выбор величины показательного процента при адаптивном моделировании.

Для того, чтобы оценить, насколько хорошо подобрана величина показательного процента a, необходимо рассмотреть

173

ошибки, возникающие при прогнозировании уровня цены в момент времени t + г моделью: f_t+T = a⁽t⁰⁾ + at¹¹ • г или ft_+T = a⁽t⁰⁾ + a?¹ • г + a<²⁾ • г²

Введем обозначения:

- s_t - ошибка прогноза (s_t = y_t - f_t):

для линейной модели s_t = y_t - (afj_r + a⁽⁽\ • г) ,

для параболы s_t = y_t - (a^ + a• г + a⁽⁽²T • г²) .

Заметим, что ошибки прогноза зависят не только от a , но и от интервала прогнозирования г .

- в - показательный процент сглаживания ряда квадратов ошибок прогноза,

- Q_t - ЕМА для ряда квадратов ошибок прогноза:

Qt = Ps²t + (1 -в) • Q_t _,.

Оптимизация величины показательного процента a - это подбор такого его значения, чтобы при фиксированном в добиться того, чтобы Q_t ^ min . Обычно величину в выбирают в пределах от 0.1 до 0.2, что приблизительно соответствует периоду сглаживания в пределах от 10 до 20.

12.5. Адаптивное моделирование с переменным показательным процентом.

На нестабильных рынках имеет смысл использовать адаптивное моделирование с переменным показательным процентом a_t, который по мере получения новых данных постоянно подстраивается к текущей рыночной ситуации.

Введем обозначения:

- s_t - ошибка прогноза (s_t = y_t - f_t):

для линейной модели s_t = y_t - (a⁽fj_r + a^ • г) , для параболы s_t = y_t - (a^ + a^ • г + a⁽-l • г²) .

- в - показательный процент сглаживания ошибок прогноза и модулей ошибок прогноза,

- Е_t - ЕМА ошибок прогноза:

174

^Е t = P'S + (1 -Р)-Е t-_І5 - A_t - ЕМА модулей ошибок прогноза,

^At = Р^-1 ^st I +^{(1 -} Р)^{- A}t-i •

Значение переменного показательного процента в каждый момент времени вычисляют по формуле a_t =| E_t / A_t | • Величину в выбирают в пределах от 0.1 до 0.2.



Содержание раздела

---