d9e5a92d

Абдулалимов А. - Прогнозирование временных рядов

Башкирский государственный университет.Кафедра финансов и налогообложения

Теоретическая часть.

Термин экономико-математические методы понимается как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения экономических процессов и систем.
Основным метод исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. При этом под моделью будем понимать образ реального процесса, отражающий его существенные свойства.
Под задачами экономико-математического моделирования понимаются: анализ экономических объектов и процессов, экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов.
Мы рассматриваем два вида экономико-математических моделей: адаптивные модели и компонентный анализ.
Адаптивные модели прогнозирования это модели, способные приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий.
Общая схема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом. По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии со схемой корректировки модели.

Далее по модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и т.д. Т.о. модель постоянно учитывает новую информацию и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.
В курсе математического моделирования мы рассматриваем три адаптивные модели: модель Брауна, модель Хольта и модель Хольта-Уинтерса. Эти модели имеют параметры сглаживания: модель Брауна один, модели Хольта и Хольта-Уинтерса два и три соответственно.
Теперь о компонентном анализе временных рядов. Временной ряд состоит из нескольких компонент: тренд, сезонная компонента, циклическая компонента (стационарный случайный процесс) и случайная компонента.
Под трендом понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. Оценка тренда осуществляется параметрическим и непараметрическим методами. Параметрический метод заключается в подборе гладкой функции, которая описывала бы тенденцию ряда: линейный тренд, полином и т.д.

Непараметрический метод используется, когда нельзя подобрать гладкую функцию и заключается в механическом сглаживании временных рядов методом скользящей средней.
Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями.

Оценка сезонной компоненты осуществляется двумя способами: с помощью тригонометрических функций и методом сезонных индексов.
В тех случаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что во временном ряде присутствует циклическая компонента или стационарный случайный процесс. Моделирование ССП осуществляется следующими методами: модель авторегрессии (АР), модель скользящего среднего (СС), модель авторегрессии скользящего среднего (АРСС) и модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС).
Авторегрессионный процесс процесс, в котором значения находятся в линейной зависимости от предыдущих. АР бывают первого порядка (Марковский процесс) и второго(процесс Юла). Порядок АР обозначается через p.
В моделях скользящего среднего мы выделяем период запаздывания (q).
Если у нас присутствуют и p и q, то мы имеем дело с моделью АРСС.
В моделях АР, СС, АРСС моделируют ряд без тренда и сезонной компоненты, т.е. ССП.

Модель АРПСС позволяет исключить тренд путем перехода к разностям исходного ряда. Порядок разности, при котором ряд становится ССП дает нам d, которая является третьей неизвестной необходимой при моделировании АРПСС плюс ранее упомянутые p и q.
Прогнозирование с помощью компонентного анализа состоит из следующих шагов: оценка и удаление тренда, оценка и удаление сезонной компоненты, моделирование ССП, конструирование прогнозной модели и выполнение прогноза.
В конце, после прогнозирования мы проверяем полученную модель на адекватность, т.е. соответствие модели исследуемому объекту или процессу. Т.к. полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность в какой-то мере условное понятие.

Модель временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда.


Характеристика исходных данных.

Дата Данные Дата Данные
17.09.2001 87,5546 31.10.2001 90,1826
18.09.2001 87,4391 1.11.2001 89,8761
19.09.2001 84,5301 2.11.2001 91,5291
20.09.2001 83,7572 5.11.2001 93,2659
21.09.2001 79,2693 6.11.2001 93,1579
24.09.2001 82,4232 7.11.2001 94,5799
25.09.2001 84,3556 8.11.2001 95,0691
26.09.2001 84,5737 9.11.2001 94,7875
27.09.2001 83,9814 12.11.2001 93,4776
28.09.2001 86,3375 13.11.2001 95,5143
1.10.2001 86,599 14.11.2001 96,8397
2.10.2001 87,3761 15.11.2001 97,4543
3.10.2001 88,0099 16.11.2001 97,5407
4.10.2001 89,8228 19.11.2001 98,2696
5.10.2001 88,9447 20.11.2001 98,2506
8.10.2001 89,3786 21.11.2001 97,4645
9.10.2001 89,2734 22.11.2001 98,0953
10.10.2001 89,7515 23.11.2001 98,0437
11.10.2001 92,0404 26.11.2001 98,6222
12.10.2001 91,4634 27.11.2001 97,7607
15.10.2001 91,8107 28.11.2001 96,628
16.10.2001 92,3968 29.11.2001 96,2972
17.10.2001 91,9989 30.11.2001 97,5226
18.10.2001 90,6101 3.12.2001 96,5187
19.10.2001 90,8081 4.12.2001 97,0024
22.10.2001 91,0108 5.12.2001 98,7592
23.10.2001 92,4902 6.12.2001 99,9798
24.10.2001 92,1829 7.12.2001 99,3854
25.10.2001 91,4308 10.12.2001 98,6803
26.10.2001 93,6935 11.12.2001 97,9448
29.10.2001 92,3283 12.12.2001 97,4542
30.10.2001 90,1196 13.12.2001 96,913


Эти данные это низшая отметка индекса Доу Джонса на торгах. Данные взяты с интернета на период с 17 сентября по 13 декабря 2001г.

Показания являются ежедневными, в неделе 5 дней торгов. Нужно будет дать прогноз на 26 декабря 2001г.

Практическая часть

.
3.1.Компонентный анализ.
3.1.1.Оценка и удаление тренда.
А.) Сперва нужно выяснить, имеет ли исходный ряд тренд. Для этого проводится спектральный анализ исходного ряда.


1 На 1 показан спектр исходного ряда, по которому видно, что в ряде присутствует тренд. Б.)Для того чтобы оценить тренд параметрическим методом подберем гладкую функцию, описывающую долгосрочную тенденцию исходного ряда.
На 2 - график исходного ряда и линейный тренд описывающий его тенденцию. Наш временной ряд имеет тенденцию к росту.
В.) Теперь, определив тренд, нужно его удалить вычитанием из исходного ряда.
На 3 показан график исходного временного ряда только уже без тренда.

2

3

Оценка и удаление сезонной компоненты.

А.) Выяснение наличия сезонной компоненты в ряде с удаленным трендом производится, как и в случае тренда, с помощью спектрограммы. Смотрится спектр ряда с удаленным трендом и выясняется наличие или отсутствие сезонности.

В случае ее наличия также по спектрограмме находится период колебаний и потом удаляется сезонная компонента.


4 На 4 представлена спектрограмма ряда с удаленным трендом. Б.) По спектрограмме видно, что в данном ряде сезонность отсутствует. Теперь можно приступать к моделированию случайного стационарного процесса (ССП).

Моделирование ССП.

Мы проведем моделирование ССП методами АРСС и АРПСС, а потом выберем наиболее верный.
А.) Модель АРСС строится на ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой. Сначала выясняют порядки p и q. Для того, чтобы их выяснить, строят коррелограммы АКФ для нахождения q и ЧАКФ для нахождения p. Их строят на ряде с удаленным трендом и сезонной компонентой.


5 На 5 показана коррелограмма АКФ, на 6 ЧАКФ. С помощью этих коррелограмм и эмпирического поиска наименьшей среднеквадратичной ошибки мы определяем неизвестные параметры: p=2, q=1. Теперь можно приступать к моделированию ССП методом АРСС.


6

7
На 7 смоделирован ССП методом АРСС с параметрами p=2, q=1 и среднеквадратичной ошибкой 1,5822. Дальнейшее преобразование в прогноз временного ряда осуществляется сложением тренда и смоделированного ССП (8).

8

Дата Прогноз
14.12.2001 97,8013
17.12.2001 98,6445
18.12.2001 99,4309
19.12.2001 100,154
20.12.2001 100,809
21.12.2001 101,397
24.12.2001 101,921
25.12.2001 102,383
26.12.2001 102,791


Б.) Моделирование с помощью АРПСС производится на исходном ряде. Перво-наперво нужно определить порядки p, d и q. На практике это делается на основе разностей только первого или второго порядков. Термин проинтегрированный означает, какого порядка нужно взять разность, чтобы получить ССП.

Тогда порядком разности и будет d. p и q определяются с помощью коррелограмм ЧАКФ (10) и АКФ (9) ССП, полученного разностями. Порядок мы определили: d=1. Но порядки p и q трудно определить по нашим коррелограммам, и поэтому мы их определяем эмпирическим методом по наименьшей среднеквадратичной ошибке: p=1, q=2.


9


10 Теперь строим модель АРПСС. На 11 построена модель АРПСС с параметрами p=1, d=1, q=2. Среднеквадратичная ошибка равна 1,6853. прогноз на 26.12.2001 равен 99,429.


11

Дата Прогноз
14.12.2001 97,179
17.12.2001 97,539
18.12.2001 97,868
19.12.2001 98,17
20.12.2001 98,452
21.12.2001 98,715
24.12.2001 98,965
25.12.2001 99,202
26.12.2001 99,429

Установление адекватности модели.

Для определения адекватности модели строится спектрограмма ряда остатков после моделирования ССП. Модель считается адекватной, если спектр этого ряда является спектром белого шума.

Спектр белого шума представляет собой линию горизонтальную оси абсцисс.
Спектр ряда, оставшегося после моделирования АРСС (12) далеко не похож на спектр белого шума. Это говорит о том, что эта модель не является адекватной.


12

13
Спектральный анализ остатков после моделирования АРПСС (13) также говорит о том, что построенная модель является неадекватной.

Адаптивные модели.

Строить прогноз с помощью адаптивных моделей мы будем моделью Хольта.


14

Дата Прогноз
14.12.2001 97,063
17.12.2001 97,211
18.12.2001 97,36
19.12.2001 97,509
20.12.2001 97,657
21.12.2001 97,806
24.12.2001 97,954
25.12.2001 98,103
26.12.2001 98,251

На 14 построена адаптивная модель Хольта нашего исходного ряда. Параметры адаптации следующие: Альфа=0,998, Гамма=0. Среднеквадратичная ошибка равна 1,6469.

Прогноз на 26.12.2001 составляет 98,251. По спектру ряда остатков (15) видно, что эта модель является неадекватной.


15

Вывод.


Мы рассмотрели три модели АРСС, АРПСС, адаптивную модель Хольта. Все построенные модели являются неадекватными.

Тем не менее мы должны выбрать наиболее подходящую, ту, которая дает наиболее правдоподобный прогноз.
Модель АРПСС содержит наибольшую из трех моделей среднеквадратичную ошибку. Да и график прогноза не очень хорошо вписывается в динамику всего предыдущего процесса.
Адаптивная модель Хольта содержит чуть меньшую среднеквадратичную ошибку, чем АРПСС, но график ее прогноза, во всяком случае, не лучше совпадает с общей динамикой, показывая менее крутой подъем индекса, чем на протяжении всего ряда.
Наиболее удачной я считаю модель АРСС. Она содержит, пусть не сильно отличающуюся, но наименьшую среднеквадратичную ошибку.

Ее прогноз показывает рост индекса, причем он более или менее соблюдает динамику всего временного ряда, динамику роста.
Т.о. я останавливаюсь на прогнозе, сделанном с помощью модели АРСС (16).


16 p=2, q=1, MS(среднеквадратичное отклонение)=1,5822.

Дата Прогноз
14.12.2001 97,8013
17.12.2001 98,6445
18.12.2001 99,4309
19.12.2001 100,154
20.12.2001 100,809
21.12.2001 101,397
24.12.2001 101,921
25.12.2001 102,383
26.12.2001 102,791



Содержание раздела