Функции доверия

21.1.1. Функции доверия

В теории Демпстера—Шефера т — это функция присвоения базовых вероятностей (bра — basic probability assignment), которая определена на множестве 2O значений из интервала [0,1], такая, что

m(пустое множество) = 0

и

суммирование выполняется по всем

Ai

Суммарное доверие Bel для любого фокального элемента А может быть найдено суммированием значений т по всем подмножествам в А. Таким образом, Bel является функцией, определенной на множестве 2е значений из интервала [0,1], такой, что

Bel(A) = Am(B).

Ве1(0) всегда равно 1, независимо от значения т(O). Это следует из определения функции присвоения базовых вероятностей. Соотношение Ве1(O) = 1 означает следующее: можно с полной уверенностью утверждать, что в пространстве 0 обязательно имеется корректная гипотеза, поскольку по определению набор гипотез является исчерпывающим. Значение m(O) отображает вес свидетельства, еще не учтенного в подмножествах, входящих в пространство 0. Значения Bel и т будут равны для множеств, состоящих из единственного элемента.

Оценка вероятности фокального элемента А будет ограничена снизу оценкой доверия к А, а сверху — оценкой привлекательности А, которая равна 1 - Веl(Aс)> где Aс — дополнение к A.

Оценка привлекательности A, Рls(A), представляет степень совместимости свидетельства с гипотезами в А и может быть вычислена по формуле

Рls(A)=

Поскольку определенная таким образом оценка привлекательности А есть не что иное, как мера нашего недоверия к -A, то можно записать:

Рls (A) = 1 - Вel (-A).

Значение оценки привлекательности А можно рассматривать как предел, до которого можно улучшить гипотезы из А при наличии свидетельств в пользу гипотез-конкурентов. Удобно рассматривать информацию, содержащуюся в оценке Bel для данного подмножества, в виде доверительного интервала в форме [Вel(A), Pls(A)]. Ширина интервала может служить оценкой неуверенности в справедливости гипотез из А при имеющемся наборе свидетельств.

Правила Демпстера позволяют вычислить новое значение функции доверия по двум ее значениям, базирующимся на разных наблюдениях. Обозначим Bel1 и Веl2 два значения функции доверия, которым соответствуют два значения функции присвоения базовых вероятностей т1 и тг. Правило позволяет вычислить новое значение т1+т2, а затем и новое значение функции доверия Веl1+ Веl2, основываясь на определениях, приведенных выше.

Для гипотезы А значение т1+т2(А) есть сумма всех произведений в форме т1(Х) m2(Y), где X и Y распространяются на все подмножества в в, пересечением которых является А. Если в таблице пересечений будет обнаружен пустой элемент, выполняется нормализация. В процедуре нормализации значение k определяется как сумма всех ненулевых значений, присвоенных в множестве 0, затем т1+т2(0) присваивается значение нуль, а значения m1+m2 для всех других множеств гипотез делится на (1 - k).

Таким образом,

m1+m2= X^Y=пустое множество{m1(X)m2(Y)}]

Следует учитывать, что значения т1 и m2 сформированы по независимым источникам свидетельств в пределах того же пространства гипотез. Обратите внимание и на тот факт, что вследствие коммутативности операции умножения правило Демпстера дает один и тот же результат при любом порядке объединения свидетельств.